Например, звонит клиент с проблемой, я смотрю в логах сервера его текущий IP, захожу удалённо в рутер...

... а IP динамический и там никого уже нет, т.к. в логах сервера IP последнего подключения, но до того, как позвонить клиент строго следовал вашим рекомендациям:
- Звонить только после того, как перезагрузишь своё оборудование (ресивер, роутер) и это не поможет.
Всё, подключения к серверу с текущего IP ещё не было, куда смотреть ?

Или клиент за NAT, он не один на этом IP сидит, или у вас таких провайдеров нет ?

прямо скажем профессиональнее.

Профессиональнее это не показать, как умеешь, когда припёрло, а предвидеть ситуацию и в случае её возникновения разрешить всё быстро и с наименьшим головняком.
Достигается этот результат просто, как в пословице: Если б знал, где упал, там соломки б подстелил.
Каждому клиенту в папку с названием Сюда не лазить ставишь DCC, TraySyslog, OScamMonitor, WinSCP, Putty, TeamViewer и забываешь о проблемах.